# 第二节 乘法技巧

## 一、小分互换法

### 1. 乘化除

 例1
$$
26188 \times 16.9\% \approx 26188 \times \left( \frac{1}{6} + 0.2\% \right)
$$


 例2
$$
8291.1 \times 671.1 = 8291.1 \times 6.7\% \times 10000 \approx 8291.1 \times \frac{1}{15} \approx 550
$$


 例3
$$
38575 \times 7 \approx 38575 \times \frac{1}{14} \times 100
$$

### 2. 415份数法（适用于增长率R>10%）

 例子
一个数除以5等于被除数缩小10倍，再乘以2。

例：
$
90 \div 5 = 90 \times (1/5) = 90 \times 0.2 = 9 \times 2 = 18;
$

$
90 \div 5 = 90 \div (1 / 0.2) = 9 \times 2 = 18;
$

$
70 \div 5 = 70 \div (1 / 0.2) = 7 \times 2 = 14;
$




### 3. 百化分特殊数值

一些常见的分数和小数的近似值：
- $0.167 \approx \frac{1}{6}$
- $0.143 \approx \frac{1}{7}$
- $0.286 \approx \frac{2}{7}$
- $0.429 \approx \frac{3}{7}$
- $0.125 = \frac{1}{8}$
- $0.375 = \frac{3}{8}$
- $0.625 = \frac{5}{8}$
- $0.091 \approx \frac{1}{11}$
- $0.111 \approx \frac{1}{9}$
- $0.083 \approx \frac{1}{12}$
- $0.077 \approx \frac{1}{13}$
- $0.08 = \frac{1}{12.5}$
- $0.071 \approx \frac{1}{14}$
- $0.067 \approx \frac{1}{15}$
- $0.063 \approx \frac{1}{16}$
- $0.056 \approx \frac{1}{18}$
- $0.059 \approx \frac{1}{17}$
- $0.053 \approx \frac{1}{19}$
- $0.0476 \approx \frac{1}{21}$
- $0.0286 \approx \frac{1}{35}$

### 4. 放缩法

利用倍数关系转换（10倍、100倍等），实现百化分。

 例子

**10倍缩放**
- $25\% = \frac{1}{4}$，则$2.5\% = \frac{1}{40}$
- $14.3\% = \frac{1}{7}$，则$1.43\% = \frac{1}{70}$
- $6.7\% = \frac{1}{15}$，则$67\% = \frac{1}{1.5}$

**2倍缩放**
- $\frac{1}{7} \approx 14.3\%$，$\frac{1}{14} \approx 7.1\%$

### 5. 取中法

小数接近两个分数，取中。

 例子
- $20\% = \frac{1}{5}$，$16.7\% = \frac{1}{6}$，则$18.5\% \approx \frac{1}{5.5}$
- $14.3\% = \frac{1}{7}$，$16.7\% = \frac{1}{6}$，则$15.4\% \approx \frac{1}{6.5}$
- $33.3\% = \frac{1}{3}$，$25\% = \frac{1}{4}$，则$28.7\% \approx \frac{1}{3.5}$

推理：
- $14.3\% = \frac{1}{7}$，$28.7\% \approx 14.3\% \times 2 = \frac{1}{7} \times 2 = \frac{2}{7} = \frac{1}{3.5}$

### 例题

例1
假设现期9100，增长率16.8%，求基期和增长量。

解：
$$
16.8\% \approx \frac{1}{6}
$$
则基期6份，增长量1份，现期7份，每份为：
$$
9100 \div 7 = 1300
$$
因此增长量为1300，基期为：
$$
1300 \times 6 = 7800
$$

误差估计：将增长率估大，则一份变大；将增长率估小，则一份变小。多份要考虑多份误差。


## 二、特殊值乘法速算技巧

### 一、一个数乘以1.1

#### 错位相加法
一个数乘以1.1等于这个数错位相加。

**例子：**
$$
123 \times 1.1 = 123 \times (1 + 0.1) = 123 + 12.3 = 135.3
$$
$$
125 \times 1.1 = 125 + 12.5 = 137.5
$$

####  两位数乘以11
将两位数拆开放两边，两数相加放中间。如果两数相加超过10，则向前进1位。

**例子：**
$$
35 \times 11 = 3 \, (3+5) \, 5 = 385
$$
$$
99 \times 11 = 9 \, (9+9) \, 9 = 1089
$$

### 二、一个数乘以0.9

一个数乘以0.9等于这个数错位相减。

**例子：**
$$
123 \times 0.9 = 123 \times (1 - 0.1) = 123 - 12.3 = 110.7
$$
$$
125 \times 0.9 = 125 - 12.5 = 112.5
$$

### 三、一个数除以25

一个数除以25等于这个数乘以4，小数点向前移两位。

**例子：**
$$
24 \div 25 = \frac{24 \times 4}{25 \times 4} = \frac{96}{100} = 0.96
$$
$$
36 \div 25 = 36 \times 4 = 144 \rightarrow 1.44
$$

### 四、一个数除以125

一个数除以125等于这个数乘以8，小数点向前移三位。

**例子：**
$$
24 \div 125 = \frac{24 \times 8}{125 \times 8} = \frac{192}{1000} = 0.192
$$
$$
36 \div 125 = 36 \times 8 = 288 \rightarrow 0.288
$$

### 五、一个数乘以1.5

一个数乘以1.5等于这个数加上本身的一半。

**例子：**
$$
120 \times 1.5 = 120 + 60 = 180
$$
$$
126 \times 1.5 = 126 + 63 = 189
$$

### 六、一个数除以5

一个数除以5等于这个数乘以2，小数点向前移一位。

**例子：**
$$
24 \div 5 = \frac{24 \times 2}{5 \times 2} = \frac{48}{10} = 4.8
$$
$$
36 \div 5 = 36 \times 2 = 72 \rightarrow 7.2
$$

### 七、乘法拆分

将乘数拆成两个常见数值（如1%、5%、10%、50%等），然后分别计算再相加。

**常用小数拆分：**
- 45% = 50% - 5%
- 55% = 50% + 5%
- 15% = 10% + 5%
- 60% = 50% + 10%
- 95% = 1 - 5%
- 90% = 1 - 10%

**例子：**
$$
628 \times (1 + 2.5\%) = 628 + 628 \times 2.5\% = 628 + 15.7 = 643.7
$$
$$
6022 \times 49\% = 6022 \times (50\% - 1\%) \approx 3011 - 60 = 2951
$$
$$
932 \times 97\% = 932 \times (1 - 3\%) \approx 932 - 28 = 904
$$

### 八、应用

#### 常数乘以11
给出多个年份现期，求增长率大于10%的年份有几个？

**例子：**
假设某年份现期为123，增长率为11%，则：
$$
123 \times 1.1 = 123 + 12.3 = 135.3
$$

## 三、乘法拆分技巧

### 常用小数拆分

将乘数拆成两个常见数值（如1%、5%、10%、50%等），然后分别计算再相加。公式如下：
$$
R = R_1 + R_2 \\
A \times R = A \times R_1 + A \times R_2
$$

#### 常见拆分比例

- 45% = 50% - 5%
- 55% = 50% + 5%
- 15% = 10% + 5%
- 60% = 50% + 10%
- 95% = 1 - 5%
- 90% = 1 - 10%

#### 例子解析

 例1：628 乘以 1 + 2.5%
$$
628 \times (1 + 2.5\%) = 628 + 628 \times 2.5\%
$$
将 2.5% 看成 0.025，计算如下：
$$
628 \times 0.025 = 15.7
$$
因此：
$$
628 + 15.7 = 643.7
$$

 例2：6022 乘以 49%
$$
6022 \times 49\% = 6022 \times (50\% - 1\%)
$$
计算 50% 和 1%：
$$
6022 \times 0.5 = 3011 \\
6022 \times 0.01 = 60.22
$$
因此：
$$
6022 \times 49\% \approx 3011 - 60 = 2951
$$

 例3：932 乘以 97%
$$
932 \times 97\% = 932 \times (1 - 3\%)
$$
计算 3%：
$$
932 \times 0.03 = 27.96
$$
因此：
$$
932 \times 97\% \approx 932 - 28 = 904
$$

### 重点内容总结

1. **乘法拆分**：将复杂的乘法拆分成简单的加法和减法。
2. **常见比例**：熟记常见的百分比拆分比例，便于快速计算。
3. **实际应用**：通过例子理解拆分方法的实际应用，提升计算速度。
